Por que funciona o teste da estrela?

1. Considerações iniciais

A lógica silogística estuda argumentos cuja validade dependem de “todo”, “nenhum”, “alguns” e noções semelhantes. Ao simbolizar esses argumentos, usamos letras maiúsculas para categorias gerais (como “lógico”) e letras minúsculas para indivíduos específicos (como “Gensler”). Também usamos estas cinco palavras: “todos”, “nenhum”, “alguns”, “é” e “não é”. Estes itens do vocabulário podem ser combinados para formar fbf (“fórmulas bem formadas”) ou sequências gramaticais. Uma fbf é uma sequência com qualquer uma destas oito formas (formas essas onde letras maiúsculas e letras minúsculas podem ser usadas):

Todo o A é B. Algum A não é B.

Algum A é B. Nenhum A é B.

x é A. x não é A.

x é y. x não é y.

Para uso posterior, note-se que as duas formas em cada caixinha são contraditórias, o que significa que têm valores de verdade opostos.

Um silogismo é uma sequência de uma ou mais fbf, no qual cada letra ocorre duas vezes, e as letras formam uma cadeia (cada fbf tem, pelo menos, uma letra em comum com a fbf logo abaixo dela, se houver uma, e a primeira fbf tem, pelo menos, uma letra em comum com a última fbf). A última fbf num silogismo é a conclusão. As outras fbfs (se houver) são as premissas. Aqui estão dois exemplos de silogismos:

Nenhum P é B. Algum C é B. ∴ Algum C não é P.

a é F. a é G. ∴ Algum F é G.

Uma letra numa fbf está distribuída se ocorrer logo depois de “todo” ou em qualquer lugar depois de “nenhum” ou “não é”. Na tabela seguinte, as letras distribuídas estão sublinhadas:

Todo A é B. Algum A não é B.

Algum A é B. Nenhum A é B.

x é A. x não é A.

x é y. x não é y.

O teste da estrela para silogismos tem duas etapas:

1. Assinala-se com uma estrela as letras das premissas que estão distribuídas e as letras da conclusão que não estão distribuídas.
2. O silogismo é válido se, e somente se, cada letra maiúscula só tiver uma estrela uma única vez e no lado direito só existir uma estrela.

Uma estratégia é sublinhar primeiro todas as letras distribuídas e depois pôr estrelas nas letras das premissas que estão sublinhadas e nas letras da conclusão que não estão sublinhadas. Aqui estão três exemplos:

Nenhum P* é B*. Algum C é B. ∴ Algum C* não é P.	Válido, porque toda a maiúscula está assinalada com estrela uma só vez e só há uma estrela à direita.
Nenhum P* é B*. Algum C não é B*. ∴ Algum C* é P*.	Inválido, porque P e B têm estrelas e há três estrelas à direita.
a é F. a é G. ∴ Algum F* é G*.	Válido, já que as letras minúsculas podem estar várias vezes assinaladas com estrelas.

O teste da estrela fornece um método rápido e fácil para testar a validade de um silogismo. Mas por que funciona o teste estrela? Por que dá a resposta correta sobre a validade e a invalidade de um silogismo? Para responder, precisamos primeiro de aprender sobre antilogismos.

2. Antilogismos

Um antilogismo é uma sequência de uma ou mais fbf, em que cada letra ocorre duas vezes e as letras “formam uma corrente” (conforme explicado acima). Todo o silogismo tem um antilogismo correspondente; as suas afirmações são idênticas, exceto pelo fato de as últimas afirmações serem contraditórias entre si. Aqui está um exemplo:

Silogismo Todo o M é P. Todo o S é M. ∴ Todo o S é P.

Antilogismo Todo o M é P. Todo o S é M. ∴ Algum S não é P.

Ora, dizer que um argumento é válido é dizer que é impossível (inconsistente) ter todas as suas premissas verdadeiras e a sua conclusão falsa. Assim, um silogismo é válido se, e somente se, o seu antilogismo for inconsistente.

O teste da estrela para antilogismos espelha o teste para silogismos:

1. Sublinhe-se as letras distribuídas no antilogismo.
2. O antilogismo é inconsistente se, e somente se, cada letra maiúscula está sublinhada exatamente uma única vez e há exatamente uma única letra sublinhada no lado direito.

Eis um exemplo que usa o teste da estrela para silogismos e o teste do antilogismo:

Silogismo (válido) Todo M* é P. Todo S* é M. ∴ Todo S é P*.

Antilogismo (inconsistente) Todo M é P. Todo S é M. Algum S não é P.

Veja-se como os dois testes se espelham entre si:

• O silogismo é válido no teste da estrela, porque todas as letras maiúsculas estão assinaladas com estrelas, uma vez e há exatamente uma estrela no lado direito.
• O antilogismo é inconsistente no teste de antilogismo, porque todas as letras maiúsculas estão sublinhadas exatamente uma vez e há exatamente uma letra sublinhada no lado direito.

O teste do antilogismo é mais simples. O teste do antilogismo trata todas as afirmações da mesma forma, enquanto o teste da estrela marca a conclusão de maneira diferente, a fim de obter o mesmo resultado. O teste da estrela funciona porque o teste de antilogismo funciona. E podemos mostrar que o teste da estrela funciona mostrando que o teste de antilogismo funciona.

3. Mostrando que o teste do antilogismo funciona

Vamos supor que temos um antilogismo no qual sublinhamos apenas as letras distribuídas. Então, de acordo com o teste, o antilogismo será inconsistente se e somente se duas condições forem satisfeitas:

1. Cada letra maiúscula está sublinhada exatamente uma única vez, e
2. Existe exatamente uma única letra sublinhada no lado direito.

Note-se que, se a segunda condição for satisfeita, então o antilogismo terá exatamente uma única afirmação negativa (uma vez que apenas as afirmações negativas têm uma letra sublinhada no lado direito).

Consideraremos agora três grupos de antilogismos:

1. Só com letras maiúsculas;
2. Só com letras minúsculas; e
3. Com letras maiúsculas e minúsculas.

Iremos tentar mostrar que, para cada grupo, os antilogismos daquele grupo são inconsistentes se, e somente se, satisfizerem as duas condições do teste de antilogismo. Se mostrarmos isso, então, como cada antilogismo pertence a um dos grupos, mostraremos que qualquer antilogismo é inconsistente se, e somente se, satisfizer essas duas condições.

4. Antilogismos só com letras maiúsculas

Tentaremos agora demonstrar que o teste do antilogismo funciona para antilogismos apenas com letras maiúsculas. Para ajudar à demonstração, desenvolveremos um procedimento de prova adequado para mostrar a inconsistência de qualquer antilogismo que seja de fato inconsistente.

Nosso procedimento de prova leva em conta, primeiro, cada afirmação no antilogismo que começa com “algum” e a substitui por um par de afirmações. Cada afirmação da forma “Algum A é B” é substituída por um par de afirmações da forma “x é A” e “x é B”, usando uma letra minúscula para x que ainda não tenha ocorrido no antilogismo. E cada afirmação da forma “Algum A não é B” é substituída por um par de afirmações da forma “x é A” e “x não é B” — usando uma letra minúscula para x que ainda não tenha ocorrido no antilogismo. Assim, seguindo esse procedimento, passaríamos do antilogismo na caixa do meio para o da direita:

Silogismo (válido) Todo o M* é P. Todo o S* é M. ∴ Todo o S é P*.

Antilogismo (original) Todo o M é P. Todo o S é M. Algum S não é P.

Antilogismo (modificado) Todo o M é P. Todo o S é M. a é S. a não é P.

(Note-se que essa modificação não altera as letras maiúsculas que estão sublinhadas.) Ora, o antilogismo original será consistente se, e somente se, o antilogismo modificado desta maneira for consistente.

O nosso procedimento de prova deriva afirmações adicionais do antilogismo modificado deste modo, usando as seguintes quatro regras de inferência (que se aplicam a qualquer letra minúscula x e quaisquer maiúsculas F e G):

Todo o F é G, x é F ⇒ x é G.

Todo o F é G, x não é G ⇒ x não é F.

Nenhum F é G, x é F ⇒ x não é G.

Nenhum F é G, x é G ⇒ x não é F.

Estas quatro regras fornecem as únicas formas de inferência válidas que partem da combinação de um afirmação universal com uma afirmação que começa com uma letra minúscula. Usando estas regras:

• Pelo menos uma premissa tem de ser positiva.
• Se ambas as premissas forem positivas, também a conclusão o é.
• Se pelo menos uma premissa é negativa também a conclusão o é.
• A letra maiúscula comum às duas premissas tem de estar sublinhada exatamente uma vez.
• A letra maiúscula na conclusão herda o sublinhado das premissas.

Se considerarmos o antilogismo modificado anteriormente, podemos usar estas quatro regras para derivar uma contradição:

Silogismo (válido) Todo o M* é P. Todo o S* é M. ∴ Todo o S é P*.

Antilogismo (original) Todo o M é P. Todo o S é M. Algum S não é P.

Antilogismo (modificado) Todo o M é P. Todo o S é M. a é S. a não é P.

Inferências adicionais: ∴ a é M {das linhas 2 e 3} ∴ a é P {de “a é M” e linha 1} , e isso contradiz a linha 4.

Aqui está um exemplo usando duas afirmações:

Silogismo (válido) Nenhum A* é B*. ∴ Nenhum B é A.

Antilogismo (inconsistente) Nenhum A é B. ∴ Algum B é A.

Antilogismo (modificado) Nenhum A é B. x é B. x é A.

Inferências adicionais: ∴ x não é A {das linhas 1 e 2}, e isso contradiz a linha 3.

Aqui está um exemplo usando apenas uma afirmação:

Silogismo (válido) ∴ Todo o A é A*.

Antilogismo (inconsistente) Algum A não é A.

Antilogismo (modificado) x é A. x não é A.

Inferências adicionais Não é necessário, pois as linhas 1 e 2 se contradizem.

E aqui está um exemplo usando quatro afirmações:

Silogismo (válido) Algum A é B. Todo o B* é C. Nenhum C* é D*. ∴ Algum A* não é D.

Antilogismo (inconsistente) Algum A é B. Todo o B é C. Nenhum C é D. Todo o A é D.

Antilogismo (modificado) x é A. x é B. Todo B é C. Nenhum C é D. Todo o A é D.

Inferências adicionais ∴ x é C {de 2 e 3} ∴ x não é D {de “x é C” e 4} ∴ x não é A {de “x não é D” e 5}, e isto contradiz a linha 1.

Um antilogismo com apenas letras maiúsculas é inconsistente, e pode-se demonstrá-lo com a nossa estratégia de prova, se, e somente se, estas três condições para o antilogismo forem satisfeitas:

1. Exatamente uma afirmação tem de começar com “algum”. [Se mais de uma afirmação começar com “algum”, o nosso antilogismo modificado usará duas letras minúsculas, talvez a e b, e na melhor das hipóteses derivaremos um par como “a é P” e “b não é P” — o que não é uma contradição. Se nenhuma afirmação começa com “algum”, não podemos derivar nada usando as nossas quatro regras; e as afirmações do antilogismo seriam consistentes — uma vez que todas seriam verdadeiras num mundo possível em que um “a” não tem nenhuma das propriedades representadas pelas letras maiúsculas.]
2. Há exatamente uma única afirmação negativa. [Se não há qualquer afirmação negativa no antilogismo, então não podemos derivar qualquer contradição — já que nossas regras podem derivar uma afirmação negativa apenas de outra afirmação negativa e precisamos de uma afirmação negativa e uma afirmação positiva para obter uma contradição. Se há duas ou mais afirmações negativas, então novamente não podemos derivar uma contradição — já que com nossas regras não podemos derivar nada de duas afirmações negativas e, portanto, a cadeia de inferências necessária seria interrompida.]
3. Cada letra maiúscula está distribuída exatamente uma única vez. [Sempre que usarmos uma de nossas quatro regras de inferência, a letra maiúscula comum a ambas as premissas tem de estar distribuída de maneira oposta em cada premissa. Portanto, se uma letra maiúscula não estiver distribuída exatamente uma única vez, novamente a cadeia de inferências necessária será interrompida.]

Estas condições espelham o teste do antilogismo. Vimos que 2 é equivalente a “há exatamente uma única letra sublinhada no lado direito” (uma vez que apenas as afirmações negativas têm uma letra sublinhada no lado direito). E 3 é equivalente “a cada letra maiúscula é sublinhada exatamente uma única vez”. Mas e quanto a 1, a condição de que exatamente uma afirmação tem de começar com “algum”?

Esta condição é garantida pelas outras condições. Suponha-se que cada letra maiúscula é sublinhada exatamente uma única vez e que há exatamente uma única letra sublinhada no lado direito. Então tem de haver exatamente uma afirmação com uma letra maiúscula à esquerda que não esteja sublinhada (uma vez que, caso contrário, alguma letra seria sublinhada duas vezes). Portanto, tem de haver exatamente uma afirmação que começa com “algum” (já que apenas as afirmações que começam com “algum” têm uma letra à esquerda que não está sublinhada).

Seja ANT um antilogismo apenas com letras maiúsculas. ANT é inconsistente se, e somente se, satisfaz as três condições mencionadas. Mas ANT será denominado “inconsistente” no teste do antilogismo se, e somente se, satisfaz essas três condições. Portanto, ANT é inconsistente se, e somente se, for denominado de “inconsistente” no teste do antilogismo. Portanto, o teste do antilogismo funciona para antilogismos com apenas letras maiúsculas.

5. Antilogismos só com letras minúsculas

Tentaremos agora mostrar que o teste do antilogismo funciona para antilogismos apenas com letras minúsculas. Para nos ajudar a mostrá-lo, precisamos ampliar nossa estratégia de prova. Precisamos adicionar uma regra de inferência sobre afirmações da forma “a é b”:

Dado “a é b”, podemos trocar a por b em qualquer afirmação.

Logo, se temos “a é F” e também temos “a é b”, então podemos derivar “b é F”. E se temos “c não é b” e também temos “a é b”, então podemos derivar “c não é a”. Como acontece nas quatro regras anteriores,

• Pelo menos uma premissa tem de ser positiva (a premissa “a é b”);
• Se ambas as premissas são positivas, também a conclusão o é;
• Se pelo menos uma premissa é negativa, também a conclusão o é;
• Qualquer letra maiúscula na conclusão herda seu sublinhado das premissas.

No entanto, a letra minúscula comum a ambas as premissas não precisa estar sublinhada exatamente uma única vez. (É por isso que nosso teste exige letras maiúsculas, mas não letras minúsculas, que tenham estrelas ou estejam sublinhadas exatamente uma vez.)

Até este ponto, derivar uma contradição envolveu derivar um par de afirmações da forma “x é A” e “x não é A”. Mas agora, derivar a autocontradição “a não é a” será uma segunda maneira de derivar uma contradição.

Podemos usar estas regras para derivar uma contradição, a partir do seguinte antilogismo de duas linhas, só com letras minúsculas:

Silogismo (válido) a é b. ∴ b* é a*.

Antilogismo (inconsistente) a é b. b não é a.

Inferências adicionais ∴ a não é a {a partir da linha 2 usando a linha 1}, e isso é uma autocontradição.

E eis como funciona um antilogismo só com uma linha e só com letras minúsculas:

Silogismo (válido) ∴ a* é a*.

Antilogismo (inconsistente) a não é a.

Inferências adicionais Não é necessário, uma vez que a linha é uma autocontradição.

Um antilogismo só com letras minúsculas é inconsistente e pode-se demonstrar que o é com a nossa estratégia de prova se, e somente se, tiver exatamente uma premissa negativa. E isso espelha a condição do teste do antilogismo de que “há exatamente uma letra sublinhada no lado direito” (uma vez que apenas as afirmações negativas têm uma letra sublinhada no lado direito). Em antilogismos com apenas letras minúsculas, a outra condição do teste do antilogismo (que nos diz que cada letra maiúscula tem de estar sublinhada exatamente uma única vez) é automaticamente satisfeita, porque não há letras maiúsculas.

Seja ANT um antilogismo apenas com letras minúsculas. ANT é inconsistente se, e somente se, tiver exatamente uma única afirmação negativa. Mas ANT será denominado “inconsistente”, no teste de antilogismo se, e somente se, tiver exatamente uma única afirmação negativa. Portanto, o ANT é inconsistente se, e somente se, for denominado “inconsistente” no teste de antilogismo. Portanto, o teste de antilogismo funciona para antilogismos com apenas letras minúsculas.

6. Antilogismos com letras maiúsculas e minúsculas

Demonstraremos agora que o teste de antilogismo funciona para antilogismos com letras maiúsculas e minúsculas. Para nos ajudar nessa demonstração, usamos o procedimento de prova que desenvolvemos nas duas seções anteriores.

Vejamos como podemos usar esse procedimento num antilogismo mais longo, com letras maiúsculas e minúsculas:

Silogismo (válido) x é A. y é x. y é B. Todo o B é C. ∴ Algum A é C.

Antilogismo (inconsistente) x é A. y é x. y é B. Todo o B é C. Nenhum A é C.

Inferências adicionais ∴ x é B {da linha 3 usando a linha 2} ∴ x é C {de “x é B” e 4} ∴ x não é A {de “x é C” e 5}, e isto contradiz a linha 1.

Um antilogismo com letras maiúsculas e minúsculas é inconsistente, e pode-se demonstrar que o é com a nossa estratégia de prova, se, e somente se, estas duas condições do antilogismo forem satisfeitas:

1. Há exatamente uma única afirmação negativa. [Se não há afirmação negativa no antilogismo, então não podemos derivar uma contradição — já que com nossas regras pode-se derivar uma afirmação negativa apenas de outra afirmação negativa e precisamos de uma afirmação negativa e uma afirmação positiva para obter uma contradição. Se há duas ou mais afirmações negativas, então, novamente, não podemos derivar uma contradição — já que com nossas regras não se pode derivar nada de duas afirmações negativas e, portanto, a cadeia necessária de inferências é interrompida.]
2. Cada letra maiúscula está distribuída exatamente uma única vez. [Sempre que usamos uma das nossas quatro regras de inferência que envolve uma afirmação da forma “todos” ou “nenhum”, a letra maiúscula comum a ambas as premissas tem de estar distribuída de maneira oposta em cada premissa. Portanto, se uma letra maiúscula não estiver distribuída exatamente uma única vez, novamente a cadeia necessária de inferências é interrompida.]

Estas condições espelham o teste de antilogismo. Vimos que 1 é equivalente a “Há exatamente uma única letra sublinhada no lado direito” (uma vez que apenas as afirmações negativas têm uma letra sublinhada no lado direito). E 2 é equivalente a “Toda a letra maiúscula está sublinhada exatamente uma única vez”.

Uma implicação dessas duas condições é que os antilogismos com letras maiúsculas e minúsculas, para serem inconsistentes e capazes de se mostrarem inconsistentes pela nossa estratégia de prova, têm de não incluir um “algum” ou uma afirmação da forma “x não é y”. Poupo ao leitor os detalhes complexos.

Seja ANT um antilogismo com letras maiúsculas e minúsculas. O ANT é inconsistente se, e somente se, satisfaz as duas condições há pouco mencionadas. Mas o ANT será denominado “inconsistente” no teste de antilogismo se, e somente se, satisfaz essas duas condições. Portanto, o ANT é inconsistente se, e somente se, for denominado “inconsistente” no teste de antilogismo. Portanto, o teste de antilogismo funciona para antilogismos com letras maiúsculas e minúsculas.

7. Por que o teste da estrela funciona

As três seções anteriores mostraram que o teste de antilogismo funciona para os três grupos de antilogismos: a) os que têm apenas letras maiúsculas, b) os que têm apenas letras minúsculas e c) os que têm letras maiúsculas e minúsculas. Portanto, o teste de antilogismo funciona para todos os antilogismos.

Dado que o teste de antilogismo funciona, podemos argumentar que o teste da estrela funciona.

Seja SIL qualquer silogismo e ANT o seu antilogismo correspondente. SIL é válido se, e somente se, o ANT for inconsistente. O ANT é inconsistente se, e somente se, for denominado “inconsistente” no teste de antilogismo. Mas o ANT é denominado “inconsistente” no teste de antilogismo se, e somente se, o SIL for denominado “válido” no teste da estrela. Portanto, SIL é válido se, e somente se, for denominado “válido” no teste da estrela.

Portanto, o teste da estrela funciona.

E o teste da estrela funciona, novamente, porque o teste do antilogismo funciona e porque o teste da estrela é apenas uma maneira indireta de fazer o teste do antilogismo.

Em termos mais simples, o teste da estrela determina se, caso se substitua a conclusão pela sua contraditória, cada letra maiúscula fica distribuída exatamente uma única vez e temos exatamente uma única afirmação negativa — que são precisamente as condições necessárias para derivar uma contradição.

8. Comentários adicionais

O teste da estrela é minha invenção. Propu-lo num artigo de 1973 em Notre Dame Journal of Formal Logic. Argumentei que o teste da estrela, quando aplicado aos silogismos tradicionais, fornece os mesmos resultados sobre a validade que as tradicionais regras medievais.

Christine Ladd-Franklin (1847–1930), uma lógica e psicóloga americana, propôs a brilhante e útil ideia de antilogismo em 1883, como parte de sua tese de doutorado. Infelizmente, levou 44 anos para receber seu título de doutorado da Universidade de Johns Hopkins, embora tenha satisfeito todos os requisitos, porque a escola não concedia este título a mulheres. Que chatice!

Professores: se quiserem ensinar técnicas de prova com lógica silogística, peçam aos estudantes que provem silogismos válidos (conforme determinado pelo teste da estrela) usando a estratégia de antilogismos explicada aqui. E se desejarem ensinar alguma metalógica sobre silogismos, peçam aos alunos que leiam este comentário e depois examinem as ideias básicas com eles.¹

1. Original disponível em http://harrycola.com/lc/docs/star.htm. A última modificação deste escrito feita por Harry Gensler antes da sua morte foi em 21/12/2009. O teste da estrela também foi apresentado no Capítulo 2, “Lógica Silogística” do seu livro Introdução à Lógica (2016). N. do T.↩︎